Новый вариант разбить карту на ячейки. Но причем здесь Эйнштейн?

Ячейки, тайлы, биннинг, замощение, тесселяция и даже паркет. Все эти слова означают разбиение пространства на кусочки — способ агрегировать данные и визуально обобщить разрозненную информацию, сделать ее более понятной для пользователей.

Возможно, вы не раз видели карты, разбивающие пространство на квадраты, треугольники или ромбы, или знакомы с наиболее распространенным подходом, разбиением пространства на шестиугольники или гексагоны. Но замощение пространства — это не только про основные геометрические фигуры. Например, вот карта, использующая мозаику Пенроуза, составленная Дэниелом Хаффманом (картографом, из-за которого автор этой статьи в 2012 году решил, что карты — это круто).

Зачем это нужно? Сам Дэниел говорит так: "Я не могу придумать подходящего применения мозаики Пенроуза в картографии, но на нее интересно смотреть, и мне этого достаточно".

У многих есть своя история с этой техникой тематического картографирования. Но что здесь можно придумать нового? Наверняка уже найдены все формы, которые можно использовать для карт?

Поиск фигур для замощения пространства — это ветвь математики, которой нашли удобное применение картографы. Обычно для карт мы используем красивые регулярные формы, которые создают четкие, организованные и упорядоченные поверхности. Большинство картографических замощений используют периодический паркет — когда его элементы располагаются на поверхности, они создают повторяющийся узор, где фигуры складываются в мозаику с трансляционной симметрией (если сдвинуть ее определенным образом, она наложится на себя).

Обратным вариантом будет апериодический паркет, который вообще не повторяется. Все известные примеры таких замощений всегда использовали несколько фигур: например, та же мозаика Пенроуза состоит из ромбов и является разновидностью апериодического паркета, но если вы присмотритесь, то увидите, что в ней есть два разных вида ромбов. Невозможно замостить пространство, используя только одну фигуру.

Вопрос о том, существует ли апериодический паркет из одной фигуры, ставил математиков в тупик на протяжении многих десятилетий, но недавно он, кажется, был решен. В мае 2023 года математик-любитель Дэвид Смит вместе с группой исследователей из Великобритании и США сообщил в статье, что они обнаружили неуловимый апериодический паркет из одной фигуры — 13-гранную фигуру, которую они окрестили "шляпой".

Плитка представляет собой полидельтоид (polykite) — фигуру, состоящую из четырехугольников в форме воздушного змея. Она была названа "einstein tile", что выглядит и звучит как "плитка Эйнштейна", но не в честь знаменитого математика и физика, а потому что с немецкого "ein-stein" переводится как "один камень" или "одна фигура".

"Шляпа" создает порядок через беспорядок — поверхность, которая выглядит так, как будто в ней есть какой-то порядок, но на самом деле его нет.

Работа математика Смита и его коллег доступна по лицензии Creative Commons, и они разработали приложение, которое генерирует эйнштейновы плитки с возможностью вывода в svg. Когда есть новые плитки, можно создавать новые карты — так подумали картографы Дэниел Хаффман, Джон Нельсон и Кеннет Филд из Esri, после чего взялись за работу.

Кеннет загрузил большую поверхность из почти 140000 отдельных плиток в замощенном состоянии, добавил их в ArcGIS Pro и обработал все как слой. Он хотел поделиться набором плиток, чтобы другие могли использовать их в своей работе, и поэтому выложил все в открытом доступе как шейп-файл, не содержащий информации о проекции. При добавлении шейп-файла на карту он сохранит свою геометрию, а желающие, конечно, могут добавить проекцию вручную.

После добавления на карту вы сможете перемещать и масштабировать объекты с помощью инструментов редактирования, чтобы они соответствовали площади, которую вы хотите замостить. Используя базовые инструменты для работы с векторными файлами, тайлы можно преобразовывать и использовать в любых проектах.

Картографам из Esri казалось очевидным, что здесь следует отдать должное теории относительности Эйнштейна (также известной как его теория гравитации), поэтому они попробовали новые тайлы для визуализации аномалий силы тяжести.

Следующая карта уже от меня, потому что захотелось по-быстрому попробовать — а почему бы и нет? В основе — слой количества январских осадков WorldClim, где зональной статистикой вычислялось среднее значение для каждого "эйнштейна".

По словам исследователей, которые открыли «шляпу», в будущем может быть больше открытий в том же духе, так как фигура относится к целому классу многоугольников, которыми можно замостить плоскость апериодически. Команда представила новый метод доказательства существования будущих "эйнштейнов" и сейчас продолжает исследования апериодических паркетов.

Так в чем же смысл всего этого? По словам Кеннета Филда, когда вы думаете, что все уже придумали до вас, появляется что-то новое и внезапно расширяет картографические возможности. Открытие плиток Эйнштейна предлагает еще одну форму, с помощью которой мы можем создавать карты. Она вряд ли заменит надежный шестиугольник, но это что-то новое, и это весело. Как сказал Хаффман о мозаике Пенроуза, "интересно смотреть, и этого достаточно".

Напоследок не могу не поделиться простой, но эффектной картой рельефа с плитками Эйнштейна и 3D-эффектом от того же Дэниела Хаффмана: